Matematica discreta Esempi

\frac{\frac{2 a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}

$\frac{\frac{2 a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Passaggio 1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

a = a

$a = a$ e

b = b

$b = b$ .

\frac{\frac{2 a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}

$\frac{\frac{2 a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Passaggio 2

Per scrivere

\frac{2 a}{a + b}

$\frac{2 a}{a + b}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{b - a}{b - a}

$\frac{b - a}{b - a}$ .

\frac{\frac{2 a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}

$\frac{\frac{2 a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Passaggio 3

Per scrivere

- \frac{b}{b - a}

$- \frac{b}{b - a}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{a + b}{a + b}

$\frac{a + b}{a + b}$ .

\frac{\frac{2 a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}

$\frac{\frac{2 a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

(a + b) (b - a)

$(a + b) (b - a)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica

\frac{2 a}{a + b}

$\frac{2 a}{a + b}$ per

\frac{b - a}{b - a}

$\frac{b - a}{b - a}$ .

\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica

\frac{b}{b - a}

$\frac{b}{b - a}$ per

\frac{a + b}{a + b}

$\frac{a + b}{a + b}$ .

\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(b - a) (a + b)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(b - a) (a + b)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di

(b - a) (a + b)

$(b - a) (a + b)$ .

\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Passaggio 6

Per scrivere

\frac{1}{a + b}

$\frac{1}{a + b}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}}

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ .

\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} \cdot \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} \cdot \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Passaggio 7

Per scrivere

$\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} \cdot \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a + b}{a + b}}$

Passaggio 8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

$(a + b) (a^{2} - b^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica

$\frac{1}{a + b}$ per

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a + b}{a + b}}$

Passaggio 8.2

Moltiplica

$\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$ per

$\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a (a + b)}{(a^{2} - b^{2}) (a + b)}}$

Passaggio 8.3

Riordina i fattori di

$(a^{2} - b^{2}) (a + b)$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10

Riscrivi

$\frac{a^{2} - b^{2} + a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a \cdot a + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica

$a$ per

$a$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a^{2} + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.3

Somma

$a^{2}$ e

$a^{2}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - b^{2} + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Per un polinomio della forma

$a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è

$a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è

$b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1.1

Riordina

$- b^{2}$ e

$a b$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.4.1.2

Scomponi

$1$ da

$a b$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + 1 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.4.1.3

Riscrivi

$1$ come

$- 1$ più

$2$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + (- 1 + 2) (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 (a b) + 2 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.4.1.5

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.4.1.6

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a^{2} - 1 a b) + 2 a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a (2 a - b) + b (2 a - b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

$2 a - b$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Passaggio 10.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = a$ e

$b = b$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

Passaggio 10.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b) (a - b)}}$

Passaggio 10.6

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Eleva

$a + b$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1} (a + b) (a - b)}}$

Passaggio 10.6.2

Eleva

$a + b$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} (a - b)}}$

Passaggio 10.6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1 + 1} (a - b)}}$

Passaggio 10.6.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}}$

Passaggio 10.7

Riduci l'espressione

$\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1

Scomponi

$a + b$ da

$(2 a - b) (a + b)$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}}$

Passaggio 10.7.2

Scomponi

$a + b$ da

${(a + b)}^{2} (a - b)$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

Passaggio 10.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

Passaggio 10.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a - b}{(a + b) (a - b)}}$